Matemáticas Fundamentación Teórica (basado en Resolución Gráfica de Problemas)

matemáticas

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Índice de Contenido.

El comienzo: Singapore Math

Principios Básicos

Matemáticas en Infantil

  1. Conceptos básicos: cantidad, mayor que, menor que, igual, más, menos, anterior, posterior, comparar, ordenar.
    Simetrías.
  2. Series y Patrones.
  3. Pesas.
  4. Proporcionalidad.
  5. Comparación
  6. Ordenación
  7. Descomposición de Números y uso del complementos del 10.
  8. Bonds Numbers o Números enlazados.
  9. Uso de Regletas.
  10. Problemas gráficos y reales.
  11. Inicio al lenguaje matemático.
  12. Lectoescritura de números.
  13. Lúdico, uso de juegos matemáticos.

Primaria

  1. Cálculo
  2. Propiedades numéricas: conmutativa, asociativa, distributiva…
  3. Conceptos numéricos: dobles, triples, mitad, más, menos, más que, menos que, igual.
  4. Problemas gráficos y reales.
  5. Atención a la Diversidad.
  6. Representación de Números
  7. Sistema Métrico
  8. Longitud
  9. Superficie
  10. y sobre todo Resolución Gráfica de Problemas
  11. Problemas Gráficos y reales
  12. Ejemplos Resolución de Problemas
  13. Elementos que componen la Resolución de Problemas
    Datos
    Representación Gráfica
    Cálculo
    Prueba
  14. ¿Cómo resolver un problema?
  15. Tipos de problemas
    Cambio
    Combinación
    Comparación
    Igualación
    Multiplicación
    División
  16. Problemas Complejos
    Fracciones
    Tantos por cientos
    Ángulos
    Sistema métrico
    Dinero
    Tiempo
    Con varias operaciones.
  17. Evaluación
  18. Creación de Problemas
  19. Tratamiento de la información
  20. Uso del lenguaje matemático
  21. Herramientas de autor
  22. Documentos para trabajar

 

Nuestra Comunidad

Conclusiones

Agradecimientos

 

El comienzo

Punto de partida.
Tras la inquietud  de parte del profesorado  del CEIP Cristóbal Luque Onieva, de Priego de Córdoba, se comienza a investigar y se pretende mejorar las matemáticas del centro.

listado  informe pisa

listado informe pisa fuente:wikipedia.org

Comenzamos a trabajar con “Algoritmo ABN” y “Método Singapur” , método utilizado en Singapur  en matemáticas. Este país copa los primeros puestos en el informe de rendimiento escolar (informe PISA).

Resumiendo nuestra metodología ecléctica: se basa en la resolución gráficas de problemas. Por tanto intenta evitar la abstracción y centrarse en lo concreto. Desde el concepto de número que se intenta ser manipulable a la resolución gráfica de problemas, el alumnado puede tocar y ver las matemáticas. Esto hace que sea más accesible al alumnado. Por eso también se adapta mejor a todos los niveles, incluso para alumnado de necesidades específicas de apoyo educativo, y por tanto atendiendo a la diversidad. También el concepto de número, hacerlo concreto y dejar la abstracción para cursos superiores.

resolucion-problemas-metodo-singapur

resolución de problemas método Singapur

Tras conocer este método se trabajó el curso 2012-2013 con el Alumnado de Apoyo a la integración, y 5º de E. Primaria. Ofreciendo buenos resultados.

También nos hemos formado con otros métodos, entre ellos “Algoritmo ABN“, donde vemos cosas positivas, sobre todo cómo aborda el tema del cálculo. Y entendemos que ABN, podría aportar cosas positivas de forma complementaria.

Así presentamos el trabajo de investigación mostrando un método ecléctico; basado en la resolución de problemas.

 

Principios Básicos

Se pueden establecer algunos principios básicos:

  1. Se basa en la solución de problemas.
  2. Se basa en lo concreto, todo se puede observar y tocar.
  3. Divertido y lúdico.
  4. Desde infantil, hasta cualquier etapa.
  5. Se puede iniciar desde cualquier curso, nivel o etapa.
  6. Favorece el cálculo mental.
  7. Mejora el razonamiento lógico matemático.
  8. Es el inicio al lenguaje matemático.
  9. Matemáticas más naturales y más concretas.
  10. Atiende a la Diversidad.

 Matemáticas en Infantil

Conceptos básicos.

Desde infantil se trabaja el concepto de número, concreto y proporcional. Se usan tanto regletas Cuisenaire o cualquier elemento que pueda representar una cantidad. Pero mostrando no sólo la cantidad, sino la relación entre números. Así se pueden presentar problemas gráficos donde aparezca el concepto de número, concepto adicción y diferencia. Si es posible en forma de juego o de reto.

ejemplo-cambio

 

La gran diferencia de otros métodos es la misma proporcionalidad, no sólo la cantidad, que facilita la adquisición de conceptos básicos matemáticos como “mayor que“, “menor que“, “igual“, “más“, “menos“. Todo el trabajo se debe realizar de forma manipulativa, como series, patrones, descomposición, comparación.

Simetrías

Las Simetrías son una forma lúdica de juego, y se utiliza para a asimilación de concepto número, suma y diferencia, cantidad proporcionalidad, por tanto hace que se desarrolle el cálculo de forma lúdica. También se establecen claves para el uso de referencias espaciales y es el primer sistema de ecuaciones. Donde una parte debe ser igual a la otra. Se pueden realizar diferentes ejercicios dependiendo de dificultad.

simetría

simetría: generada en olesur.com

Series y Patrones

Las Series y Patrones son otra forma de razonamiento y lógica. Las series se utilizan para el desarrollo de lógica, y trabajan los incrementos o decrementos de una cantidad, base de la multiplicación, división, permanencias de los objetos. Se pueden presentar series ascendentes desde una cantidad hasta otra, o series descendentes. Se irá secuenciando el nivel de dificultad.

    +1 +2 +3  -1 -2 -3
+10 +20 +30 -10 -20 -30

Como anécdota decir que con un alumno trabajando “mayor que” y “menor que” al plantear una pregunta si había números menores que el 0,  uno levantó la mano y dijo que el “-1”, así se presentó la serie numérica del 10 al -10 y estuvo representándola con regletas. La serie la construyó él. Por tanto empezó a experimentar con números negativos. Y se nos planteó una pregunta, ¿se puede trabajar números enteros en 1º? A partir de ahí cuando se presentan series a este alumno descendentes o ascendentes se adapta la ficha con series que lleguen a los números negativos. Y sólo se ha trabajado esta serie. No  ha habido la mayor explicación, lo ha interiorizado y experimentado.

series 10 -10

Algunas actividades para realizar en papel:

symmetry-pattern_.jpeg

 más simetrías o patrones

Pesas

Pesas. Son otra forma de comparación y así se pueden resolver ecuaciones de forma lúdica. Una forma de trabajar lógica independientemente del concepto de número. Así se trabajan conceptos de mayor, menor, igual.
trabajo-con-pesas

trabajo-con-pesas

Proporcionalidad

La proporcionalidad en las regletas hace que se adquieran conceptos matemáticos de forma concreta. Así los conceptos “mayor que“, “menor que“, “igual“, son fácilmente observables. De esta manera los signos “<“, “>“, “=” toman significado. Esta proporcionalidad también aporta valores espaciales que mejorarán conceptos como superficies, volumen, tamaños. Por tanto de forma indirecta se está trabajando longitud y superficie, trabajando en cm.

Trabajamos las comparaciones, iniciamos las primeras preguntas. “¿Quién es mayor?”, “¿y  menor?“, “¿cómo son?“,…

Comparación

Al comparar dos elementos o números se aprecia el valor relativo,  si es mayor, menor, igual y cuantos se diferencia. Inicio para los problemas de comparación e igualación. También da sentido a los signos de >, <  y =.

comparacionOrdenación

También la ordenación de números. Como hemos mencionado antes la series, se hacen visibles y manipulables. Se pueden ordenar de menor a mayor, de mayor a menor. Se puede analizar cuanta diferencia hay entre ellos y si es constante.

ordenacion

ordenación

Descomposición de Números

Como ejercicios se utilizan las descomposición de números. Esto favorecerá el cálculo mental y el uso de propiedades numéricas, cálculo, lenguaje matemático. Esto es el inicio a los primeros problemas. Ejemplo: 10 = 3+6+1 5=2+3. Esto favorecerá el cálculo mental y interiorizar propiedades numéricas como la conmutativa, distributiva. También con la descomposición de números se muestra que un problema puede tener más de una solución matemática.

Complementos del 10, básicos para el cálculo mental y entender el sistema decimal.

Para trabajar los complementos del 10

Para trabajar los complementos del 10

Inicio del lenguaje matemático
10 = 3+6+1
10=2+8

Para el cálculo se realizan agrupaciones de 10 y por tanto hay que trabajar los complementos del 10.

amigos-del-10

Bonds Numbers o Números enlazados

Es la simplificación de un sistema de ecuaciones. Así se plantea un reto, calcular el número que falta para que se cumpla una condición. 20= 5 + 5 + ?
Ya se plantea el cálculo como un problema donde el alumno tiene que decidir si debe calcular lo que falta o sumar los elementos. Esto favorece el cálculo mental, la resolución de problemas, y el uso lenguaje matemático.
números enlazados

números enlazados

Uso de regletas.
Las regletas Cuisenarire, es el material preferido para trabajar con el alumnado. Las ventajas que presenta con respecto a otros son: la cantidad la muestra de forma proporcional, se pueden hacer comparaciones, adicciones, diferencia. Los colores significan números, por tanto también ayuda a la adquisición de conceptos, los colores.
Se pueden utilizar cuando se practican las series o patrones, de esta manera se utiliza el cálculo, no sólo se usa la grafomotricidad; y existen diferentes niveles de dificultad.
regletas

regletas

Problemas gráficos y reales

Antes de comenzar los problemas escritos tras una exposición de hechos, es mejor comenzar con problemas reales, tanto en fotografía para que ellos, categoricen, extraigan datos, y observen lo que falta para realizar la pregunta y mostrar la solución.

resolucion-problemas-metodo-singapur

resolucion-gráfica-de-problemas

Inicio al lenguaje matemático

Al representar siempre una igualdad o ecuación, siempre se puede representar en lenguaje matemático de forma sencilla. En el gráfico anterior se presentan

1+3=4 4-3=1 4-1=3

No solamente se trabaja cálculo.

Lectoescritura de números

Para la mejora del aprendizaje del concepto de número hay que presentar diferentes fichas de trabajo para que relacionen el símbolo numérico con el valor, el color.

Hay que realizar diferentes tarjetas, o flashcard

lectoescritura-regletas-4

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FlashCard o Tarjetas de Números.

Lúdico, uso de juegos matemáticos.

Para iniciar la matemáticas, se pueden usar muchos juegos que tienen carácter educativo. Puzzles, legos, dominó, regletas de madera, juegos de pinchitos con diferentes colores, mosaicos.
juego de pinchitos

juego de pinchitos

Matemáticas en Primaria

En Educación Primaria se continúa desde infantil y se basa en los mismos principios, uso de regletas, tanto reales o en cursos superiores abstractas o simplificadas.

Cálculo

calculo-numeros bond
El cálculo se basa en la relación del Total y sus Partes; y siempre con su representación gráfica, tanto como números bond o como rejilla. También para el cálculo se usa los complementos del 10. Y muchos ejercicios se basan en complementos del 10, que en infantil se puede denominar amigos del 10. Así en cualquier cuenta el razonamiento sería este: 8-7=8+(2+5)=15

 

Ayuda al cálculo mental, ya que se basa en ir agrupando decenas o centenas. También ayuda a la descomposición numérica.

Inicio al lenguaje matemático; en el ejercicio anterior se plantea diferentes formas de expresión numérica:

8+7=15 15-7=8 15-8=7 (8+2)+5=15  

También se plantea de forma natural las ecuaciones; al basarte en el TOTAL = PARTE1 + PARTE2 se juego a resolver ecuaciones desde niño.

Cálculo: Se manipula todas las operaciones; sumar, restar, multiplicar, dividir, raíz cuadrada,…

calculo-singapore-mathpng
Cálculo con Regletas Cuisinaire

Lo más sorprendente del cálculo y los problemas es que la solución ya está presente y por tanto es todo más concreto. También evita errores.

 

Propiedades

Representación visual de las propiedades de los números reales. Pueden manipular las propiedades y utilizarlas para el cálculo

Propiedad Conmutativa -> 2+4=4+2           3×4=4×3

propiedad-conmutativa

propiedad-conmutativa

Propiedad Asociativa ->  2+(1+4) = 2+(1+4)      (2×3)x4 = 2x(3×4)

propiedad-asociativa
Elemento Identidad de la Suma -> 3+0=3
Elemento Identidad de la Multiplicación-> 4×1=4
Inverso Aditivo-> 6+(-6) = 0
Inverso Multiplicativo 5 x 1/5 = 1
Propiedad Distributiva 3x(3+4) = 3×3 + 3×4

propiedad-distributiva

propiedad-distributiva

Conceptos numéricos

Al trabajar de forma manipulativa y concreta se puede trabajar conceptos doble, triples, mitad, más, menos, igual de forma lúdica.

conceptos-doble-triple-mitad

conceptos-doble-triple-mitad

 

mas-menos

mas-menos

Problemas reales o gráficos

Como en la anterior etapa hay que presentar problemas reales o gráficos, donde haya que clasificar, ordenar o cuantificar. Tras presentar el problema se puede preguntar por:

¿Cuántos hay?
¿Quién tiene más?
¿Cuántos más?
¿Cuántos menos?
¿Cuántos tienen todos?
¿Cuántos falta para tener como el primero?
¿Cuánto es el doble del primero?

Por tanto están realizando problemas. Los pueden representar con regletas. Se pueden presentar fotografías de la clase donde hay sillas vacías, para realizar dichas preguntas.

problema-gráficos

problema-gráficos

Atención a la diversidad.

Con esta metodología, la atención a la diversidad está asegurada, al hacerlo más concreto el alumnado tiene acceso a su contenido y lo puede manipular. También es más fácil adaptar la actividad, por ejemplo se pueden usar regletas, o no. Se puede representar la expresión numérica o no. Se puede realizar el cálculo mental o regletas o determinado algoritmo. Es independiente del cálculo, se puede utilizar el tradicional o ABN. Por tanto el alumnado se puede incorporar a esta metodología en cualquier curso; incluso si existe desplazamiento desde otro colegio donde no esté implantado no tendrá dificultad.

Representación de números

Ya se ha comentado como se pueden representar los números con regletas. Podemos representar los números naturales, enteros, pares, impares, primos…

numeros-naturales

numeros-naturales

numeros-enteros

numeros-enteros

 Sistema Métrico

Longitud.

Ideal para el uso de regletas, ya que las regletas son medidas de 1cm o 2cm. Realmente están midiendo desde infantil y utilizando medidas. Se puede pedir que midan el libro, goma lápiz, o cualquier elemento que tengan cercano.

longitud

longitud

Superficie.

Al igual que la longitud se pueden realizar superficies y cálculos con las misma regletas. También se puede pedir que midan la superficie del cuaderno, libreta, calcular su perímetro.

superficie

superficie

 

y  sobre todo Resolución Gráfica de Problemas

Como punto de partida, vimos la dificultad de establecer una secuenciación de los problemas y su dificultad. Así partimos de una clasificación de problemas de ofrecida en un curso de formación por José Mª de la Rosa Sánchez, y cuya clasificación de los autores, J. Luis Luceño Campos y Jaime Martínez Montero, así como el Equipo de Orientación y Psicopedagógica de Ponferrada. Más información sobre clasificación de problemas.

Al interpretar el problema no de una forma no lineal, y extraer los datos como variables. No importa el orden, y por tanto los tipos de problemas de simplifican. Buscamos relaciones y su representación gráfica.

Se trabaja la comprensión del problema analizando si los datos que nos ofrece el problema son de otros datos. Por ejemplo en el problema:

Compré 12 pasteles. He regalado 6 pasteles a mi hermana ¿Cuántos me quedan?

Los 6 pasteles no son nuevos, son de los 12 que tengo. Por tanto están relacionados y por tanto aparecen en lugar opuesto de la ecuación.

Veamos un ejemplo práctico:

resolucion-no-lineal de problemas

resolucion gráfica y no lineal de problemas

 

Problemas gráficos y reales.

Desde infantil ya se inicia los problemas, y son intrínsecos al número. Pudiendo ser adquiridos desde edades muy tempranas.

Antes de presentar los problemas hay que presentar problemas gráficos para la interiorización de las PARTES y TOTAL. Lo ideal es que se inicia en forma de juegos o juegos educativos y al final con fotografía, o imágenes. Ejemplos: cartas, mecanos, dominó, pesas… Planteamos trabajar diariamente 10 minutos. Desde problemas verbales, problemas en imágenes, o resolución de problemas.

 

Resolución de Problemas

Uns ejemplos.

Problema de Cambio 1

Problemas de Cambio 2

Problemas de Cambio 3

Problemas de Combinación 1

Problemas de Combinación 2

Problemas de Cambio con Fracciones

Problemas de Multiplicación 1

Más ejemplos:

Elementos que componen la Resolución de Problemas

DATOS

Como metodología general es la separación y análisis de las variables o DATOS dentro del problema y detectar su relación. Así los datos se presenta no de una forma lineal sino relacional, facilitando su posterior representación.

problemas-cambio-1

Lo que se pretende es que las variables sean datos, y por tanto independiente del orden de escritura o lectura; favoreciendo la comprensión del problema, ya que favorece descubrir la relación entre datos.

Representación Gráfica

problemas-cambio-2

La solución gráfica, favorece la comprensión del problema, evita errores, y es el inicio del lenguaje matemático. Con estos problemas se pueden presentar la solución en forma de expresión.

9-5=?
5+?=9
9=5+?

No hay una solución, hay varias formas de resolver el problema.

Como se ha mencionado la solución se hace visible y evita frustración o usar el ensayo y error, muy común entre el alumnado.

Cálculo

El cálculo es independiente de la resolución del problema, es una parte que irá en relación de las competencias del alumnado. En un principio se realizarán cálculos manipulativos y concretos, para ir abstrayendo cada vez más, hasta llegar al uso de calculadora o uso de ordenador. La elección de un algoritmo depende del centro de del tutor/a, y siendo independiente de esta metodología. Como se ha mencionado nos basamos en la resolución del problema, no en el cálculo del mismo.

En alguna aulas hemos iniciado el algoritmo ABN, y en otras el alumnado utiliza el tradicional. Consideramos las ventajas del algoritmo ABN, pero primero resolviendo el problema de forma gráfica.

Prueba

Se puede comprobar las soluciones de los problemas sumando las PARTES, y tendrá que dar el TOTAL.

¿Cómo resolver un problema?

Como idea al alumnado se le ha mencionado que no es un problema sino que es un puzzle, así aumenta en nivel lúdico. No es lo mismo resolver un problema que resolver un puzzle.

1º Lectura con atención del problema.
2º Extracción de datos convirtiéndolos en DATOS y regletas.
3º Buscar relaciones de los datos, facilitará la realización del gráfico.
4º Realización de la solución gráfica.
5º Dependiendo del nivel, escribir la expresión numérica.
6º Cálculo
7º Realización de la prueba. Sumando PARTES.

Así se plantea un esquema para la realización de problemas.

sopa-numeros- -4

Tipos de Problemas

La solución gráfica dependerá del tipo de problemas y nuestra clasificación es:

Problemas de Cambio

Las diferentes expresiones numéricas serían

x + y = z
x – y = z 

 

 

Problemas de Combinación

Problemas de Comparación

Problemas de Igualación

Problemas de Multiplicación

Problemas de División

Problemas complejos.

Hemos visto los tipos de problemas, según sus variables y sus relaciones con la incógnita. Ahora hay que mencionar distintos tipos de problemas relacionados con distintos números. En este caso fracciones, porcentajes, ángulos, superficies.

Problemas con Fracciones

Realmente se realizan igual que si fuera una división. En el comienzo se pueden utilizar puntos, o las mismas regletas para repartir, para posteriormente utilizar los números.

fracciones

Problemas con Porcentajes

La secuenciación del trabajo con porcentaje es comenzar por 50%, luego trabajar múltiplos del 10% luego múltiplos del 5% ,  1%.

Todo se basa en el 10% que se puede calcular mentalmente. 10% de 20 = 2   20/10= 2

porcentajes 10%

porcentajes

Problemas de ángulos.

Problemas de ángulos

Problemas de ángulos

Ángulos Adyacentes.

angulos-adyacentes

ángulos adyacentes

 

Sistema métrico

Se presentarán problemas de medidas.
Dinero

Se presentarán problemas de cálculo de dinero, si compran elementos o si falta o sobra.
Tiempo

Trabajar el tiempo es complejo ya que no se puede tocar y al percepción del tiempo es relativa.
Con varias operaciones.

Finalmente se trabajará problemas con más relaciones entre variables y unión de tipos de problemas.

varias relaciones en problemas

varias relaciones en problemas

Evaluación

Se ha cambiado la forma de trabajar del alumnado y por tanto la evaluación será diferente. Presentamos modelo de rúbrica para la evaluación.

Se ha realizado una rúbrica para la evaluación de la realización de Problemas.

Se basa en analizar distintas partes de la resolución de problemas según Singapore Math. Así analizamos la extracción y análisis de los datos, la representación gráfica, el cálculo (independiente del algoritmo), prueba, y claridad en la realización.

rubrica-evaluación-problemas

Creación e invención de problemas

Es fácil crear el ambiente necesario para que el alumnado cree su propios problemas y los resuelva. Es interesante la creación de problemas de forma oral. También la resolución gráfica solamente.

creación de problemas

creación de problemas

Tratamiento de la información

Con el uso de las regletas es fácil recopilar información y representarlas en gráficas.

image-representacion-gráfica

image representacion gráfica

Uso del lenguaje matemático

Todo el proceso llega al uso del lenguaje matemático, para facilitar el sistema de ecuaciones, resolución de problemas complejos e interpretación matemática de la realidad. Y como ejercicio final te retamos a que realices la expresión numérica de esta imagen.

matemáticas

matemáticas

Herramientas y Documentos.

Hemos creado varias herramientas para generar recursos basados en “Matemáticas basadas en la Resolución de Problemas

Herramientas

Simetría.
Patrones.
Cuadrados Mágicos.
Jugar a patrones.
Pirámides Numéricas.
Problemas interactivos.
Imprimir Problemas.
Código Secreto

Documentos

También la creación de una colección de Actividades para descargar.

Conclusiones

Estamos en un tiempo de cambios, avances y hay que estar preparado para tomar las elecciones adecuadas. Creemos que en unos años se presentarán varios métodos, “Algoritmo ABN“, “Método Singapur“, Tradicional y habrá que elegir por uno de ellos. Nosotros presentamos uno ecléctico  “Matemáticas basadas en la Resolución de Problemas” que conlleva el uso del lenguaje matemático de formar divertida. Y si has llegado hasta aquí te animo a que pruebes con tu alumnado, mis clases han cambiado, yo he cambiado, mis alumnos han cambiado.

Agradecimientos

Especial Agradecimientos al profesorado del CEIP Cristóbal Luque Onieva, de Priego de Córdoba; que desde hace varios años trabajamos con esta Metodología, que aún está viva y en crecimiento; Carlos Valero, Pepe Yepes, María José Vasco, Juan Francisco López Lombardo, Conchi Cuadros, Mari Carmen España, Mercedes, Rocio, Paco Pulido, Maribel, Lourdes, Manuela, Concha Jiménez, Alonso Arroyo  y un servidor, Juan Carlos Sarmiento.

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© 2014 Juan Carlos Sarmiento Montoro
Maestro Pedagogía Terapéutica
CEIP Cristóbal Luque Onieva
Priego de Córdoba
olesur@gmail.com
+34630770928

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